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Sagot :
Para determinar la densidad del gas metano ([tex]\( CH_4 \)[/tex]) a [tex]\( 7^\circ C \)[/tex] y [tex]\( 4,1 \, \text{atm} \)[/tex], procedemos de la siguiente manera:
### 1. Calcular la temperatura en Kelvin
Primero, convertimos la temperatura de grados Celsius a Kelvin utilizando la fórmula:
[tex]\[ T(K) = T(C) + 273.15 \][/tex]
Dado que la temperatura en grados Celsius es [tex]\( 7^\circ C \)[/tex]:
[tex]\[ T(K) = 7 + 273.15 = 280.15 \, K \][/tex]
### 2. Determinar el peso molecular del metano ([tex]\( CH_4 \)[/tex])
El metano ([tex]\( CH_4 \)[/tex]) está compuesto por un átomo de carbono (C) y cuatro átomos de hidrógeno (H). Utilizando las masas atómicas:
[tex]\[ C = 12 \, \text{uma} \][/tex]
[tex]\[ H = 1 \, \text{uma} \][/tex]
El peso molecular del metano es:
[tex]\[ P_{\text{molecular}} = 12 + 4 \times 1 = 12 + 4 = 16 \, \text{g/mol} \][/tex]
### 3. Usar la ecuación de estado de los gases ideales
La ecuación de estado de los gases ideales es:
[tex]\[ PV = nRT \][/tex]
Para densidad ([tex]\( \rho \)[/tex]), reorganizamos la ecuación en términos de [tex]\( \rho \)[/tex]. La densidad es masa por unidad de volumen:
[tex]\[ \rho = \frac{m}{V} \][/tex]
Utilizamos la relación de moles ([tex]\( n \)[/tex]):
[tex]\[ n = \frac{m}{P_{\text{molecular}}} \][/tex]
Y la ecuación de estado queda:
[tex]\[ PV = \left( \frac{m}{P_{\text{molecular}}} \right) RT \][/tex]
Reorganizando para densidad ([tex]\( \rho \)[/tex]):
[tex]\[ \rho = \frac{P \cdot P_{\text{molecular}}}{R \cdot T} \][/tex]
### 4. Sustituir los valores en la ecuación
Tenemos los siguientes valores:
- Presión ([tex]\( P \)[/tex]): [tex]\( 4.1 \, \text{atm} \)[/tex]
- Peso molecular ([tex]\( P_{\text{molecular}} \)[/tex]): [tex]\( 16 \, \text{g/mol} \)[/tex]
- Constante universal de los gases ([tex]\( R \)[/tex]): [tex]\( 0.082 \, \text{atm} \cdot \text{L} / \text{mol} \cdot \text{K} \)[/tex]
- Temperatura ([tex]\( T \)[/tex]): [tex]\( 280.15 \, \text{K} \)[/tex]
Sustituyendo en la fórmula de densidad:
[tex]\[ \rho = \frac{4.1 \, \text{atm} \times 16 \, \text{g/mol}}{0.082 \, \text{atm} \cdot \text{L} / \text{mol} \cdot \text{K} \times 280.15 \, \text{K}} \][/tex]
### 5. Calcular la densidad
Realizando el cálculo:
[tex]\[ \rho = \frac{4.1 \times 16}{0.082 \times 280.15} \][/tex]
[tex]\[ \rho = \frac{65.6}{22.1713} \approx 2.856 \, \text{g/L} \][/tex]
Por lo tanto, la densidad del gas metano ([tex]\( CH_4 \)[/tex]) a [tex]\( 7^\circ C \)[/tex] y [tex]\( 4.1 \, \text{atm} \)[/tex] es aproximadamente [tex]\( 2.856 \, \text{g/L} \)[/tex].
### 1. Calcular la temperatura en Kelvin
Primero, convertimos la temperatura de grados Celsius a Kelvin utilizando la fórmula:
[tex]\[ T(K) = T(C) + 273.15 \][/tex]
Dado que la temperatura en grados Celsius es [tex]\( 7^\circ C \)[/tex]:
[tex]\[ T(K) = 7 + 273.15 = 280.15 \, K \][/tex]
### 2. Determinar el peso molecular del metano ([tex]\( CH_4 \)[/tex])
El metano ([tex]\( CH_4 \)[/tex]) está compuesto por un átomo de carbono (C) y cuatro átomos de hidrógeno (H). Utilizando las masas atómicas:
[tex]\[ C = 12 \, \text{uma} \][/tex]
[tex]\[ H = 1 \, \text{uma} \][/tex]
El peso molecular del metano es:
[tex]\[ P_{\text{molecular}} = 12 + 4 \times 1 = 12 + 4 = 16 \, \text{g/mol} \][/tex]
### 3. Usar la ecuación de estado de los gases ideales
La ecuación de estado de los gases ideales es:
[tex]\[ PV = nRT \][/tex]
Para densidad ([tex]\( \rho \)[/tex]), reorganizamos la ecuación en términos de [tex]\( \rho \)[/tex]. La densidad es masa por unidad de volumen:
[tex]\[ \rho = \frac{m}{V} \][/tex]
Utilizamos la relación de moles ([tex]\( n \)[/tex]):
[tex]\[ n = \frac{m}{P_{\text{molecular}}} \][/tex]
Y la ecuación de estado queda:
[tex]\[ PV = \left( \frac{m}{P_{\text{molecular}}} \right) RT \][/tex]
Reorganizando para densidad ([tex]\( \rho \)[/tex]):
[tex]\[ \rho = \frac{P \cdot P_{\text{molecular}}}{R \cdot T} \][/tex]
### 4. Sustituir los valores en la ecuación
Tenemos los siguientes valores:
- Presión ([tex]\( P \)[/tex]): [tex]\( 4.1 \, \text{atm} \)[/tex]
- Peso molecular ([tex]\( P_{\text{molecular}} \)[/tex]): [tex]\( 16 \, \text{g/mol} \)[/tex]
- Constante universal de los gases ([tex]\( R \)[/tex]): [tex]\( 0.082 \, \text{atm} \cdot \text{L} / \text{mol} \cdot \text{K} \)[/tex]
- Temperatura ([tex]\( T \)[/tex]): [tex]\( 280.15 \, \text{K} \)[/tex]
Sustituyendo en la fórmula de densidad:
[tex]\[ \rho = \frac{4.1 \, \text{atm} \times 16 \, \text{g/mol}}{0.082 \, \text{atm} \cdot \text{L} / \text{mol} \cdot \text{K} \times 280.15 \, \text{K}} \][/tex]
### 5. Calcular la densidad
Realizando el cálculo:
[tex]\[ \rho = \frac{4.1 \times 16}{0.082 \times 280.15} \][/tex]
[tex]\[ \rho = \frac{65.6}{22.1713} \approx 2.856 \, \text{g/L} \][/tex]
Por lo tanto, la densidad del gas metano ([tex]\( CH_4 \)[/tex]) a [tex]\( 7^\circ C \)[/tex] y [tex]\( 4.1 \, \text{atm} \)[/tex] es aproximadamente [tex]\( 2.856 \, \text{g/L} \)[/tex].
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