Claro, vamos a calcular la derivada de la función [tex]\( f(x) = 3x^4 - 4x^4 \)[/tex] y luego evaluaremos esta derivada en [tex]\( x = 1 \)[/tex].
### Paso 1: Simplificar la función
Primero, simplifiquemos la función [tex]\( f(x) \)[/tex].
[tex]\[ f(x) = 3x^4 - 4x^4 \][/tex]
Combinando los términos semejantes, obtenemos:
[tex]\[ f(x) = (3 - 4)x^4 \][/tex]
[tex]\[ f(x) = -x^4 \][/tex]
### Paso 2: Calcular la derivada [tex]\( f'(x) \)[/tex]
Ahora, aplicaremos la regla de la potencia para derivar [tex]\( f(x) \)[/tex]. La regla de la potencia dice que si [tex]\( f(x) = x^n \)[/tex], entonces [tex]\( f'(x) = n x^{n-1} \)[/tex].
Para nuestra función [tex]\( f(x) = -x^4 \)[/tex], calculemos la derivada:
[tex]\[ f'(x) = - \frac{d}{dx} (x^4) \][/tex]
Aplicando la regla de la potencia:
[tex]\[ f'(x) = - (4x^{4-1}) \][/tex]
[tex]\[ f'(x) = - 4x^3 \][/tex]
Entonces, la derivada de [tex]\( f(x) \)[/tex] es:
[tex]\[ f'(x) = -4x^3 \][/tex]
### Paso 3: Evaluar la derivada en [tex]\( x = 1 \)[/tex]
Vamos a evaluar la derivada [tex]\( f'(x) \)[/tex] en [tex]\( x = 1 \)[/tex]:
[tex]\[ f'(1) = -4(1)^3 \][/tex]
[tex]\[ f'(1) = -4(1) \][/tex]
[tex]\[ f'(1) = -4 \][/tex]
### Conclusión
La derivada de la función [tex]\( f(x) = 3x^4 - 4x^4 \)[/tex] es [tex]\( f'(x) = -4x^3 \)[/tex].
Al evaluar esta derivada en [tex]\( x = 1 \)[/tex], obtenemos [tex]\( f'(1) = -4 \)[/tex].
