Para abordar este problema, primero identificamos la función dada:
[tex]\[ f^{\prime}(x) = -10 + 1 + 10 \][/tex]
Debemos calcular explícitamente la expresión de la derivada [tex]\( f^{\prime}(x) \)[/tex] y evaluarla en [tex]\( x = 1 \)[/tex].
### Paso 1: Simplificación de la expresión
La derivada [tex]\( f^{\prime}(x) \)[/tex] está dada por la siguiente expresión que podemos simplificar:
[tex]\[ f^{\prime}(x) = -10 + 1 + 10 \][/tex]
Primero, sumamos los términos constantes:
-10 + 1 = -9
Luego sumamos -9 y 10:
-9 + 10 = 1
Por lo tanto, tenemos:
[tex]\[ f^{\prime}(x) = 1 \][/tex]
### Paso 2: Evaluación de [tex]\( f^{\prime}(1) \)[/tex]
La derivada simplificada que hemos obtenido es una constante, [tex]\( f^{\prime}(x) = 1 \)[/tex]. Esto significa que la tasa de cambio de la función no varía con [tex]\( x \)[/tex] y siempre es 1, sin importar el valor específico de [tex]\( x \)[/tex].
Para encontrar [tex]\( f^{\prime}(1) \)[/tex], simplemente se toma el valor de la función en [tex]\( x = 1 \)[/tex]:
[tex]\[ f^{\prime}(1) = 1 \][/tex]
### Resumen
Hemos encontrado que la derivada, [tex]\( f^{\prime}(x) \)[/tex], es una constante igual a 1. Por lo tanto:
[tex]\[ f^{\prime}(x) = 1 \][/tex]
Y evaluando en [tex]\( x = 1 \)[/tex]:
[tex]\[ f^{\prime}(1) = 1 \][/tex]
Así, nuestras respuestas finales son:
[tex]\[ f^{\prime}(x) = 1 \][/tex]
[tex]\[ f^{\prime}(1) = 1 \][/tex]
