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Resolver las siguientes ecuaciones y factorizar en cada caso el primer miembro:

1. [tex]x^3 - 3x^2 + 4 = 0[/tex]
2. [tex]2x^3 + 4 - 6x = 0[/tex]
3. [tex]7x^3 + 7 - 7x - 7x^2 = 0[/tex]
4. [tex]3x^4 + 33x^2 - 18x - 18x^3 = 0[/tex]
5. [tex]6x - x^4 - 4x^3 - x^2 = 0[/tex]

Sagot :

GinnyAnswer
¡Claro! Resolveré cada ecuación y presentaré su factorización correspondiente paso a paso.

### 1) [tex]\( x^3 - 3x^2 + 4 = 0 \)[/tex]
Primero encontramos las soluciones de la ecuación cúbica:
Las soluciones son [tex]\( x = -1 \)[/tex] y [tex]\( x = 2 \)[/tex].

Luego, realizamos la factorización de la ecuación:
[tex]\[ x^3 - 3x^2 + 4 = (x - 2)^2 (x + 1) \][/tex]

### 2) [tex]\( 2x^3 + 4 - 6x = 0 \)[/tex]
Primero, encontramos las soluciones de la ecuación:
Las soluciones son [tex]\( x = -2 \)[/tex] y [tex]\( x = 1 \)[/tex].

Luego, realizamos la factorización de la ecuación:
[tex]\[ 2x^3 + 4 - 6x = 2(x - 1)^2 (x + 2) \][/tex]

### 3) [tex]\( 7x^3 + 7 - 7x - 7x^2 = 0 \)[/tex]
Primero, ordenamos y simplificamos para encontrar las soluciones:
Las soluciones son [tex]\( x = -1 \)[/tex] y [tex]\( x = 1 \)[/tex].

Luego, realizamos la factorización de la ecuación:
[tex]\[ 7x^3 + 7 - 7x - 7x^2 = 7(x - 1)^2 (x + 1) \][/tex]

### 4) [tex]\( 3x^4 + 33x^2 - 18x - 18x^3 = 0 \)[/tex]
Primero, encontramos las soluciones de la ecuación:
Las soluciones son [tex]\( x = 0 \)[/tex], [tex]\( x = 1 \)[/tex], [tex]\( x = 2 \)[/tex] y [tex]\( x = 3 \)[/tex].

Luego, realizamos la factorización de la ecuación:
[tex]\[ 3x^4 + 33x^2 - 18x - 18x^3 = 3x (x - 3) (x - 2) (x - 1) \][/tex]

### 5) [tex]\( 6x - x^4 - 4x^3 - x^2 = 0 \)[/tex]
Primero, encontramos las soluciones de la ecuación:
Las soluciones son [tex]\( x = -3 \)[/tex], [tex]\( x = -2 \)[/tex], [tex]\( x = 0 \)[/tex] y [tex]\( x = 1 \)[/tex].

Luego, realizamos la factorización de la ecuación:
[tex]\[ 6x - x^4 - 4x^3 - x^2 = -x (x - 1) (x + 2) (x + 3) \][/tex]

Entonces, las soluciones y los polinomios factorizados para cada una de las ecuaciones son:

1) [tex]\( x^3 - 3x^2 + 4 = 0 \)[/tex]
- Soluciones: [tex]\( x = -1 \)[/tex] y [tex]\( x = 2 \)[/tex]
- Factorización: [tex]\( (x - 2)^2 (x + 1) \)[/tex]

2) [tex]\( 2x^3 + 4 - 6x = 0 \)[/tex]
- Soluciones: [tex]\( x = -2 \)[/tex] y [tex]\( x = 1 \)[/tex]
- Factorización: [tex]\( 2(x - 1)^2 (x + 2) \)[/tex]

3) [tex]\( 7x^3 + 7 - 7x - 7x^2 = 0 \)[/tex]
- Soluciones: [tex]\( x = -1 \)[/tex] y [tex]\( x = 1 \)[/tex]
- Factorización: [tex]\( 7 (x - 1)^2 (x + 1) \)[/tex]

4) [tex]\( 3x^4 + 33x^2 - 18x - 18x^3 = 0 \)[/tex]
- Soluciones: [tex]\( x = 0 \)[/tex], [tex]\( x = 1 \)[/tex], [tex]\( x = 2 \)[/tex], [tex]\( x = 3 \)[/tex]
- Factorización: [tex]\( 3x (x - 3) (x - 2) (x - 1) \)[/tex]

5) [tex]\( 6x - x^4 - 4x^3 - x^2 = 0 \)[/tex]
- Soluciones: [tex]\( x = -3 \)[/tex], [tex]\( x = -2 \)[/tex], [tex]\( x = 0 \)[/tex], [tex]\( x = 1 \)[/tex]
- Factorización: [tex]\( -x (x - 1) (x + 2) (x + 3) \)[/tex]
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