Конечно! Давайте найдем все значения числа [tex]\(a\)[/tex], при которых данное уравнение:
[tex]\[ (a+5)x^2 - (a+6)x + 3 = 0 \][/tex]
не имеет корней.
Для начала вспомним условие существования корней квадратного уравнения. Оно определяется дискриминантом. Для уравнения вида [tex]\( Ax^2 + Bx + C = 0 \)[/tex] дискриминант [tex]\( \Delta \)[/tex] вычисляется по формуле:
[tex]\[ \Delta = B^2 - 4AC \][/tex]
Если дискриминант отрицателен ([tex]\( \Delta < 0 \)[/tex]), уравнение не имеет действительных корней.
В нашем уравнении:
[tex]\[ A = a + 5 \][/tex]
[tex]\[ B = -(a + 6) \][/tex]
[tex]\[ C = 3 \][/tex]
Подставим эти значения в формулу дискриминанта:
[tex]\[ \Delta = (-(a + 6))^2 - 4(a + 5) \cdot 3 \][/tex]
Раскроем скобки и упростим выражение:
[tex]\[ \Delta = (a + 6)^2 - 12(a + 5) \][/tex]
Раскроем квадраты и произведения:
[tex]\[ \Delta = (a^2 + 12a + 36) - 12a - 60 \][/tex]
Упростим выражение:
[tex]\[ \Delta = a^2 + 12a + 36 - 12a - 60 \][/tex]
[tex]\[ \Delta = a^2 - 24 \][/tex]
Для того чтобы уравнение не имело действительных корней, дискриминант должен быть меньше нуля:
[tex]\[ a^2 - 24 < 0 \][/tex]
Решим это неравенство:
[tex]\[ a^2 < 24 \][/tex]
Для нахождения решения извлечем квадратный корень из обеих частей:
[tex]\[ -\sqrt{24} < a < \sqrt{24} \][/tex]
Упростим значение квадратного корня:
[tex]\[ -2\sqrt{6} < a < 2\sqrt{6} \][/tex]
Таким образом, все значения числа [tex]\(a\)[/tex], при которых уравнение [tex]\( (a+5)x^2 - (a+6)x + 3 = 0 \)[/tex] не имеет действительных корней, лежат в интервале:
[tex]\[ a \in (-2\sqrt{6}, 2\sqrt{6}) \][/tex]
