Claro, vamos a analizar cuáles de las afirmaciones son correctas dado que el área de un rectángulo es [tex]\(2x^2 + x - 6\)[/tex].
Primero, recordemos que el área de un rectángulo se calcula como el producto de sus lados. Entonces, si la expresión para el área es [tex]\(2x^2 + x - 6\)[/tex], debemos verificar si las afirmaciones dadas concuerdan con esta información.
a) Si un lado mide [tex]\(x + 2\)[/tex], el otro mide [tex]\(2x - 3\)[/tex].
Verifiquemos esta afirmación. Si un lado es [tex]\(x + 2\)[/tex], llamemos al otro lado [tex]\(L\)[/tex]. Entonces:
[tex]\[
(x + 2) \cdot L = 2x^2 + x - 6
\][/tex]
Para encontrar [tex]\(L\)[/tex], dividimos el área entre el lado conocido:
[tex]\[
L = \frac{2x^2 + x - 6}{x + 2}
\][/tex]
Realizamos la división polinomial:
[tex]\[
\frac{2x^2 + x - 6}{x + 2} = 2x - 3
\][/tex]
Verificamos:
[tex]\[
(x + 2) \cdot (2x - 3) = 2x^2 + 4x - 3x - 6 = 2x^2 + x - 6
\][/tex]
Esto confirma que la afirmación a) es verdadera.
b) Su perímetro es [tex]\(6x + 10\)[/tex].
El perímetro de un rectángulo es la suma de todos sus lados:
[tex]\[
\text{Perímetro} = 2 \cdot (\text{Lado 1} + \text{Lado 2})
\][/tex]
Ya hemos encontrado los lados del rectángulo, [tex]\(x + 2\)[/tex] y [tex]\(2x - 3\)[/tex]. Por lo tanto:
[tex]\[
\text{Perímetro} = 2 \cdot ((x + 2) + (2x - 3)) = 2 \cdot (3x - 1) = 6x - 2
\][/tex]
Esto muestra que la afirmación b) es falsa.
c) Un lado mide [tex]\(x + 1\)[/tex].
Para que un lado mida [tex]\(x + 1\)[/tex], otro lado debe medir tal que el producto de los lados sea igual al área:
[tex]\[
(x + 1) \cdot L = 2x^2 + x - 6
\][/tex]
Dividiendo entre [tex]\(x + 1\)[/tex]:
[tex]\[
L = \frac{2x^2 + x - 6}{x + 1}
\][/tex]
Realizando la división polinomial:
[tex]\[
\frac{2x^2 + x - 6}{x + 1}
\][/tex]
Esto no se simplifica de una manera que sea trivialmente verificada, sugiriendo que dividir 2x² + x - 6 entre x+1 no resulta en un entero simple. Para comprobar:
[tex]\[
(x + 1) \cdot \left(\frac{2x^2 + x - 6}{x + 1}\right) = 2x^2 + x - 6
\][/tex]
Verifiquemos la descomposición:
[tex]\[
2x + ( \text{un término no simplificable})
\][/tex]
Esto implica que la c) también es falsa.
d) Su área también es [tex]\(3x - 3\)[/tex].
Esta es directa. Comparamos:
[tex]\[
2x^2 + x - 6 \neq 3x - 3
\][/tex]
Claramente, la afirmación d) es falsa.
Conclusión:
La única afirmación verdadera es a): Si un lado mide [tex]\(x + 2\)[/tex], el otro lado mide [tex]\(2x - 3\)[/tex].
