Claro, vamos a resolver este sistema de ecuaciones paso a paso.
Primero, definimos las ecuaciones dadas:
1. \(\frac{1}{3}x + \frac{1}{5}y = 12\)
2. \(5x + 7y = 300\)
Nuestro objetivo es encontrar los valores de \(x\) y \(y\) que satisfacen ambas ecuaciones.
Paso 1: Simplificamos la primera ecuación.
Multiplicamos la primera ecuación por 15, que es el común denominador de 3 y 5, para eliminar los denominadores:
[tex]\[15 \left( \frac{1}{3}x + \frac{1}{5}y \right) = 15 \cdot 12\][/tex]
Esto nos da:
[tex]\[5x + 3y = 180\][/tex]
Ahora tenemos un sistema de ecuaciones lineales más sencillo:
1. \(5x + 3y = 180\)
2. \(5x + 7y = 300\)
Paso 2: Eliminamos una de las variables.
Restamos la primera ecuación de la segunda para eliminar \(x\):
[tex]\[
(5x + 7y) - (5x + 3y) = 300 - 180
\][/tex]
Esto nos da:
[tex]\[
4y = 120
\][/tex]
Despejamos \(y\):
[tex]\[
y = \frac{120}{4} = 30
\][/tex]
Paso 3: Encontramos el valor de \(x\).
Sustituimos \(y = 30\) en la primera ecuación:
[tex]\[5x + 3(30) = 180\][/tex]
[tex]\[
5x + 90 = 180
\][/tex]
Restamos 90 de ambos lados:
[tex]\[
5x = 90
\][/tex]
Despejamos \(x\):
[tex]\[
x = \frac{90}{5} = 18
\][/tex]
Por lo tanto, los valores que satisfacen las condiciones dadas son \(x = 18\) y \(y = 30\).
Paso 4: Verificación
Verificamos las soluciones sustituyéndolas de nuevo en las ecuaciones originales para estar seguros de que son correctas.
Para la primera ecuación:
[tex]\[
\frac{1}{3}(18) + \frac{1}{5}(30) = 6 + 6 = 12 \quad \text{(correcto)}
\][/tex]
Para la segunda ecuación:
[tex]\[
5(18) + 7(30) = 90 + 210 = 300 \quad \text{(correcto)}
\][/tex]
Entonces, los valores correctos son [tex]\(x = 18\)[/tex] y [tex]\(y = 30\)[/tex].
