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Sagot :
Para resolver el problema donde se nos da la ecuación \( a^{10} b^{-10} + 16 a^{-10} b^{10} = 41 \), y se nos pide encontrar el valor de la expresión \( E = \sqrt[5]{\frac{a^5 - 2b^5}{\sqrt{3}}} \), vamos a proceder paso a paso:
1. Transformación inicial:
Supongamos que \( a^{10} b^{-10} = x \) y \( a^{-10} b^{10} = y \).
Entonces, podemos reformular la ecuación original como:
[tex]\[ x + 16y = 41 \][/tex]
2. Propiedad multiplicativa:
Observemos que:
[tex]\[ xy = (a^{10} b^{-10})(a^{-10} b^{10}) = a^{0} b^{0} = 1 \][/tex]
Esto nos lleva a:
[tex]\[ y = \frac{1}{x} \][/tex]
3. Sustitución y resolución del cuadrático:
Sustituyamos \( y \) en la ecuación original:
[tex]\[ x + 16\left(\frac{1}{x}\right) = 41 \][/tex]
Multipliquemos por \( x \) para deshacernos del denominador:
[tex]\[ x^2 + 16 = 41x \][/tex]
Reorganizamos esta ecuación en la forma estándar:
[tex]\[ x^2 - 41x + 16 = 0 \][/tex]
Resolviendo esta ecuación cuadrática con la fórmula cuadrática \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \):
[tex]\[ x = \frac{41 \pm \sqrt{41^2 - 4 \cdot 16}}{2} \][/tex]
Calculamos el discriminante:
[tex]\[ \sqrt{41^2 - 4 \cdot 16} = \sqrt{1681 - 64} = \sqrt{1617} \][/tex]
Lo cual nos da:
[tex]\[ x_1 = \frac{41 + \sqrt{1617}}{2} \approx 40.60597 \][/tex]
[tex]\[ x_2 = \frac{41 - \sqrt{1617}}{2} \approx 0.02463 \][/tex]
4. Identificación de \( a^{10} \) y \( b^{10} \):
Dado que \( a \) y \( b \) son positivos:
[tex]\[ a^{10} b^{-10} = x_1 \approx 40.60597 \][/tex]
[tex]\[ a^{-10} b^{10} = x_2 \approx 0.02463 \][/tex]
5. Encontrando \( a^5 \) y \( b^5 \):
[tex]\[ a^{10} = 40.60597 \implies a^5 = \sqrt{40.60597} \approx 6.37228 \][/tex]
[tex]\[ b^{10} = 0.02463 \implies b^5 = \sqrt{0.02463} \approx 0.15693 \][/tex]
6. Cálculo de \( E \):
La expresión \( E \) es:
[tex]\[ E = \sqrt[5]{\frac{a^5 - 2b^5}{\sqrt{3}}} \][/tex]
Sustituyendo los valores:
[tex]\[ a^5 \approx 6.37228, \quad b^5 \approx 0.15693 \][/tex]
[tex]\[ a^5 - 2b^5 \approx 6.37228 - 2 \cdot 0.15693 \approx 6.37228 - 0.31386 \approx 6.05842 \][/tex]
Entonces:
[tex]\[ \frac{a^5 - 2b^5}{\sqrt{3}} \approx \frac{6.05842}{\sqrt{3}} \approx \frac{6.05842}{1.732} \approx 3.49783 \][/tex]
Finalmente, calculamos la raíz quinta:
[tex]\[ E = \sqrt[5]{3.49783} \approx 1.28458 \][/tex]
Después de todo este cálculo detallado, verificamos las opciones y encontramos que ningún valor coincide exactamente con 1.28458. Entonces, la respuesta a la pregunta sería:
Ninguna de las opciones dadas es correcta.
1. Transformación inicial:
Supongamos que \( a^{10} b^{-10} = x \) y \( a^{-10} b^{10} = y \).
Entonces, podemos reformular la ecuación original como:
[tex]\[ x + 16y = 41 \][/tex]
2. Propiedad multiplicativa:
Observemos que:
[tex]\[ xy = (a^{10} b^{-10})(a^{-10} b^{10}) = a^{0} b^{0} = 1 \][/tex]
Esto nos lleva a:
[tex]\[ y = \frac{1}{x} \][/tex]
3. Sustitución y resolución del cuadrático:
Sustituyamos \( y \) en la ecuación original:
[tex]\[ x + 16\left(\frac{1}{x}\right) = 41 \][/tex]
Multipliquemos por \( x \) para deshacernos del denominador:
[tex]\[ x^2 + 16 = 41x \][/tex]
Reorganizamos esta ecuación en la forma estándar:
[tex]\[ x^2 - 41x + 16 = 0 \][/tex]
Resolviendo esta ecuación cuadrática con la fórmula cuadrática \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \):
[tex]\[ x = \frac{41 \pm \sqrt{41^2 - 4 \cdot 16}}{2} \][/tex]
Calculamos el discriminante:
[tex]\[ \sqrt{41^2 - 4 \cdot 16} = \sqrt{1681 - 64} = \sqrt{1617} \][/tex]
Lo cual nos da:
[tex]\[ x_1 = \frac{41 + \sqrt{1617}}{2} \approx 40.60597 \][/tex]
[tex]\[ x_2 = \frac{41 - \sqrt{1617}}{2} \approx 0.02463 \][/tex]
4. Identificación de \( a^{10} \) y \( b^{10} \):
Dado que \( a \) y \( b \) son positivos:
[tex]\[ a^{10} b^{-10} = x_1 \approx 40.60597 \][/tex]
[tex]\[ a^{-10} b^{10} = x_2 \approx 0.02463 \][/tex]
5. Encontrando \( a^5 \) y \( b^5 \):
[tex]\[ a^{10} = 40.60597 \implies a^5 = \sqrt{40.60597} \approx 6.37228 \][/tex]
[tex]\[ b^{10} = 0.02463 \implies b^5 = \sqrt{0.02463} \approx 0.15693 \][/tex]
6. Cálculo de \( E \):
La expresión \( E \) es:
[tex]\[ E = \sqrt[5]{\frac{a^5 - 2b^5}{\sqrt{3}}} \][/tex]
Sustituyendo los valores:
[tex]\[ a^5 \approx 6.37228, \quad b^5 \approx 0.15693 \][/tex]
[tex]\[ a^5 - 2b^5 \approx 6.37228 - 2 \cdot 0.15693 \approx 6.37228 - 0.31386 \approx 6.05842 \][/tex]
Entonces:
[tex]\[ \frac{a^5 - 2b^5}{\sqrt{3}} \approx \frac{6.05842}{\sqrt{3}} \approx \frac{6.05842}{1.732} \approx 3.49783 \][/tex]
Finalmente, calculamos la raíz quinta:
[tex]\[ E = \sqrt[5]{3.49783} \approx 1.28458 \][/tex]
Después de todo este cálculo detallado, verificamos las opciones y encontramos que ningún valor coincide exactamente con 1.28458. Entonces, la respuesta a la pregunta sería:
Ninguna de las opciones dadas es correcta.
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