Westonci.ca makes finding answers easy, with a community of experts ready to provide you with the information you seek. Our platform connects you with professionals ready to provide precise answers to all your questions in various areas of expertise. Our platform offers a seamless experience for finding reliable answers from a network of knowledgeable professionals.
Sagot :
Claro! Vamos resolver os logaritmos fornecidos passo a passo:
### a) [tex]\(\log_3 9\)[/tex]
Para calcular [tex]\(\log_3 9\)[/tex], observe que [tex]\(9\)[/tex] é igual a [tex]\(3^2\)[/tex]. Portanto, podemos escrever:
[tex]\[ \log_3 9 = \log_3 (3^2) \][/tex]
Utilizando a propriedade dos logaritmos que diz [tex]\(\log_b (a^c) = c \log_b a\)[/tex], temos:
[tex]\[ \log_3 (3^2) = 2 \log_3 3 \][/tex]
E sabemos que [tex]\(\log_3 3 = 1\)[/tex]. Portanto:
[tex]\[ 2 \log_3 3 = 2 \cdot 1 = 2 \][/tex]
Logo,
[tex]\[ \log_3 9 = 2 \][/tex]
### b) [tex]\(\log_5 \frac{1}{125}\)[/tex]
Para calcular [tex]\(\log_5 \frac{1}{125}\)[/tex], observe que [tex]\(\frac{1}{125}\)[/tex] é igual a [tex]\(5^{-3}\)[/tex]. Portanto, podemos escrever:
[tex]\[ \log_5 \frac{1}{125} = \log_5 (5^{-3}) \][/tex]
Utilizando a propriedade dos logaritmos [tex]\(\log_b (a^c) = c \log_b a\)[/tex], temos:
[tex]\[ \log_5 (5^{-3}) = -3 \log_5 5 \][/tex]
E sabemos que [tex]\(\log_5 5 = 1\)[/tex]. Portanto:
[tex]\[ -3 \log_5 5 = -3 \cdot 1 = -3 \][/tex]
Logo,
[tex]\[ \log_5 \frac{1}{125} = -3 \][/tex]
### c) [tex]\(\log_{10} \sqrt[5]{1000}\)[/tex]
Para calcular [tex]\(\log_{10} \sqrt[5]{1000}\)[/tex], observe que [tex]\(1000 = 10^3\)[/tex] e a raiz quinta de [tex]\(10^3\)[/tex] é [tex]\(10^{3/5}\)[/tex]. Portanto, podemos escrever:
[tex]\[ \log_{10} \sqrt[5]{1000} = \log_{10} (10^{3/5}) \][/tex]
Utilizando a propriedade dos logaritmos [tex]\(\log_b (a^c) = c \log_b a\)[/tex], temos:
[tex]\[ \log_{10} (10^{3/5}) = \frac{3}{5} \log_{10} 10 \][/tex]
E sabemos que [tex]\(\log_{10} 10 = 1\)[/tex]. Portanto:
[tex]\[ \frac{3}{5} \log_{10} 10 = \frac{3}{5} \cdot 1 = \frac{3}{5} \][/tex]
Logo,
[tex]\[ \log_{10} \sqrt[5]{1000} = \frac{3}{5} \approx 0.6 \][/tex]
### d) [tex]\(\log_{\frac{1}{3}} \sqrt[3]{729}\)[/tex]
Para calcular [tex]\(\log_{\frac{1}{3}} \sqrt[3]{729}\)[/tex], observe que [tex]\(729 = 3^6\)[/tex] e a raiz cúbica de [tex]\(3^6\)[/tex] é [tex]\(3^2\)[/tex]. Portanto, podemos escrever:
[tex]\[ \log_{\frac{1}{3}} \sqrt[3]{729} = \log_{\frac{1}{3}} (3^2) \][/tex]
Utilizando a propriedade dos logaritmos [tex]\(\log_b (a^c) = c \log_b a\)[/tex], temos:
[tex]\[ \log_{\frac{1}{3}} (3^2) = 2 \log_{\frac{1}{3}} 3 \][/tex]
Para determinar [tex]\(\log_{\frac{1}{3}} 3\)[/tex], usamos a mudança de base:
[tex]\[ \log_{\frac{1}{3}} 3 = \frac{\log_3 3}{\log_3 \frac{1}{3}} = \frac{1}{-1} = -1 \][/tex]
Portanto:
[tex]\[ 2 \log_{\frac{1}{3}} 3 = 2 \cdot (-1) = -2 \][/tex]
Logo,
[tex]\[ \log_{\frac{1}{3}} \sqrt[3]{729} = -2 \][/tex]
### e) [tex]\(\log_{\frac{2}{3}} \frac{729}{64}\)[/tex]
Para calcular [tex]\(\log_{\frac{2}{3}} \frac{729}{64}\)[/tex], observe que [tex]\(729 = 3^6\)[/tex] e [tex]\(64 = 2^6\)[/tex]. Portanto, podemos escrever:
[tex]\[ \log_{\frac{2}{3}} \frac{729}{64} = \log_{\frac{2}{3}} \left(\frac{3^6}{2^6}\right) = \log_{\frac{2}{3}} \left(\left(\frac{3}{2}\right)^6\right) \][/tex]
Utilizando a propriedade dos logaritmos [tex]\(\log_b (a^c) = c \log_b a\)[/tex], temos:
[tex]\[ \log_{\frac{2}{3}} \left(\left(\frac{3}{2}\right)^6\right) = 6 \log_{\frac{2}{3}} \left(\frac{3}{2}\right) \][/tex]
Para determinar [tex]\(\log_{\frac{2}{3}} \left(\frac{3}{2}\right)\)[/tex], usamos a mudança de base:
[tex]\[ \log_{\frac{2}{3}} \left(\frac{3}{2}\right) = \frac{\log_{\frac{3}{2}} \left(\frac{3}{2}\right)}{\log_{\frac{3}{2}} \left(\frac{2}{3}\right)} = 1 \cdot (-1) = -1 \][/tex]
Portanto:
[tex]\[ 6 \log_{\frac{2}{3}} \left(\frac{3}{2}\right) = 6 \cdot (-1) = -6 \][/tex]
Logo,
[tex]\[ \log_{\frac{2}{3}} \frac{729}{64} = -6 \][/tex]
Resumindo as respostas:
[tex]\[ a) \log_3 9 = 2 \][/tex]
[tex]\[ b) \log_5 \frac{1}{125} = -3 \][/tex]
[tex]\[ c) \log_{10} \sqrt[5]{1000} = 0.6 \][/tex]
[tex]\[ d) \log_{\frac{1}{3}} \sqrt[3]{729} = -2 \][/tex]
[tex]\[ e) \log_{\frac{2}{3}} \frac{729}{64} = -6 \][/tex]
### a) [tex]\(\log_3 9\)[/tex]
Para calcular [tex]\(\log_3 9\)[/tex], observe que [tex]\(9\)[/tex] é igual a [tex]\(3^2\)[/tex]. Portanto, podemos escrever:
[tex]\[ \log_3 9 = \log_3 (3^2) \][/tex]
Utilizando a propriedade dos logaritmos que diz [tex]\(\log_b (a^c) = c \log_b a\)[/tex], temos:
[tex]\[ \log_3 (3^2) = 2 \log_3 3 \][/tex]
E sabemos que [tex]\(\log_3 3 = 1\)[/tex]. Portanto:
[tex]\[ 2 \log_3 3 = 2 \cdot 1 = 2 \][/tex]
Logo,
[tex]\[ \log_3 9 = 2 \][/tex]
### b) [tex]\(\log_5 \frac{1}{125}\)[/tex]
Para calcular [tex]\(\log_5 \frac{1}{125}\)[/tex], observe que [tex]\(\frac{1}{125}\)[/tex] é igual a [tex]\(5^{-3}\)[/tex]. Portanto, podemos escrever:
[tex]\[ \log_5 \frac{1}{125} = \log_5 (5^{-3}) \][/tex]
Utilizando a propriedade dos logaritmos [tex]\(\log_b (a^c) = c \log_b a\)[/tex], temos:
[tex]\[ \log_5 (5^{-3}) = -3 \log_5 5 \][/tex]
E sabemos que [tex]\(\log_5 5 = 1\)[/tex]. Portanto:
[tex]\[ -3 \log_5 5 = -3 \cdot 1 = -3 \][/tex]
Logo,
[tex]\[ \log_5 \frac{1}{125} = -3 \][/tex]
### c) [tex]\(\log_{10} \sqrt[5]{1000}\)[/tex]
Para calcular [tex]\(\log_{10} \sqrt[5]{1000}\)[/tex], observe que [tex]\(1000 = 10^3\)[/tex] e a raiz quinta de [tex]\(10^3\)[/tex] é [tex]\(10^{3/5}\)[/tex]. Portanto, podemos escrever:
[tex]\[ \log_{10} \sqrt[5]{1000} = \log_{10} (10^{3/5}) \][/tex]
Utilizando a propriedade dos logaritmos [tex]\(\log_b (a^c) = c \log_b a\)[/tex], temos:
[tex]\[ \log_{10} (10^{3/5}) = \frac{3}{5} \log_{10} 10 \][/tex]
E sabemos que [tex]\(\log_{10} 10 = 1\)[/tex]. Portanto:
[tex]\[ \frac{3}{5} \log_{10} 10 = \frac{3}{5} \cdot 1 = \frac{3}{5} \][/tex]
Logo,
[tex]\[ \log_{10} \sqrt[5]{1000} = \frac{3}{5} \approx 0.6 \][/tex]
### d) [tex]\(\log_{\frac{1}{3}} \sqrt[3]{729}\)[/tex]
Para calcular [tex]\(\log_{\frac{1}{3}} \sqrt[3]{729}\)[/tex], observe que [tex]\(729 = 3^6\)[/tex] e a raiz cúbica de [tex]\(3^6\)[/tex] é [tex]\(3^2\)[/tex]. Portanto, podemos escrever:
[tex]\[ \log_{\frac{1}{3}} \sqrt[3]{729} = \log_{\frac{1}{3}} (3^2) \][/tex]
Utilizando a propriedade dos logaritmos [tex]\(\log_b (a^c) = c \log_b a\)[/tex], temos:
[tex]\[ \log_{\frac{1}{3}} (3^2) = 2 \log_{\frac{1}{3}} 3 \][/tex]
Para determinar [tex]\(\log_{\frac{1}{3}} 3\)[/tex], usamos a mudança de base:
[tex]\[ \log_{\frac{1}{3}} 3 = \frac{\log_3 3}{\log_3 \frac{1}{3}} = \frac{1}{-1} = -1 \][/tex]
Portanto:
[tex]\[ 2 \log_{\frac{1}{3}} 3 = 2 \cdot (-1) = -2 \][/tex]
Logo,
[tex]\[ \log_{\frac{1}{3}} \sqrt[3]{729} = -2 \][/tex]
### e) [tex]\(\log_{\frac{2}{3}} \frac{729}{64}\)[/tex]
Para calcular [tex]\(\log_{\frac{2}{3}} \frac{729}{64}\)[/tex], observe que [tex]\(729 = 3^6\)[/tex] e [tex]\(64 = 2^6\)[/tex]. Portanto, podemos escrever:
[tex]\[ \log_{\frac{2}{3}} \frac{729}{64} = \log_{\frac{2}{3}} \left(\frac{3^6}{2^6}\right) = \log_{\frac{2}{3}} \left(\left(\frac{3}{2}\right)^6\right) \][/tex]
Utilizando a propriedade dos logaritmos [tex]\(\log_b (a^c) = c \log_b a\)[/tex], temos:
[tex]\[ \log_{\frac{2}{3}} \left(\left(\frac{3}{2}\right)^6\right) = 6 \log_{\frac{2}{3}} \left(\frac{3}{2}\right) \][/tex]
Para determinar [tex]\(\log_{\frac{2}{3}} \left(\frac{3}{2}\right)\)[/tex], usamos a mudança de base:
[tex]\[ \log_{\frac{2}{3}} \left(\frac{3}{2}\right) = \frac{\log_{\frac{3}{2}} \left(\frac{3}{2}\right)}{\log_{\frac{3}{2}} \left(\frac{2}{3}\right)} = 1 \cdot (-1) = -1 \][/tex]
Portanto:
[tex]\[ 6 \log_{\frac{2}{3}} \left(\frac{3}{2}\right) = 6 \cdot (-1) = -6 \][/tex]
Logo,
[tex]\[ \log_{\frac{2}{3}} \frac{729}{64} = -6 \][/tex]
Resumindo as respostas:
[tex]\[ a) \log_3 9 = 2 \][/tex]
[tex]\[ b) \log_5 \frac{1}{125} = -3 \][/tex]
[tex]\[ c) \log_{10} \sqrt[5]{1000} = 0.6 \][/tex]
[tex]\[ d) \log_{\frac{1}{3}} \sqrt[3]{729} = -2 \][/tex]
[tex]\[ e) \log_{\frac{2}{3}} \frac{729}{64} = -6 \][/tex]
Thanks for using our service. We aim to provide the most accurate answers for all your queries. Visit us again for more insights. Thank you for your visit. We're committed to providing you with the best information available. Return anytime for more. Westonci.ca is committed to providing accurate answers. Come back soon for more trustworthy information.
