Para encontrar el área de un triángulo equilátero cuyo perímetro mide [tex]\(48\)[/tex] cm, procederemos paso a paso.
1. Determinar la longitud de un lado del triángulo equilátero:
Dado que un triángulo equilátero tiene tres lados iguales y el perímetro es la suma de las longitudes de los tres lados, podemos dividir el perímetro entre 3 para encontrar la longitud de un lado.
[tex]\[
\text{Longitud de un lado} = \frac{\text{Perímetro}}{3}
\][/tex]
Sustituyendo el valor del perímetro:
[tex]\[
\text{Longitud de un lado} = \frac{48 \, \text{cm}}{3} = 16 \, \text{cm}
\][/tex]
2. Calcular el área del triángulo equilátero:
La fórmula para el área [tex]\(A\)[/tex] de un triángulo equilátero con lado de longitud [tex]\(a\)[/tex] es:
[tex]\[
A = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2
\][/tex]
Sustituyendo [tex]\(a = 16 \, \text{cm}\)[/tex]:
[tex]\[
A = \frac{\sqrt{3}}{4} (16)^2
\][/tex]
[tex]\[
A = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 256
\][/tex]
[tex]\[
A = \frac{256\sqrt{3}}{4}
\][/tex]
[tex]\[
A = 64\sqrt{3} \, \text{cm}^2
\][/tex]
3. Conclusión:
El área del triángulo equilátero es [tex]\(64\sqrt{3} \, \text{cm}^2\)[/tex]. Por lo tanto, la respuesta correcta es:
[tex]\[
\boxed{64\sqrt{3} \, \text{cm}^2}
\][/tex]
