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Sagot :
Claro, vamos a factorizar cada una de las expresiones dadas paso a paso:
1) [tex]\(6 x^2 + 10 x y\)[/tex]:
Podemos factorizar sacando el factor común:
[tex]\[ 6x^2 + 10xy = 2x(3x + 5y) \][/tex]
Por lo tanto, la factorización es [tex]\(2x(3x + 5y)\)[/tex].
2) [tex]\(x^2 - 10x + 21\)[/tex]:
Buscamos dos números que multiplicados den [tex]\(21\)[/tex] y sumados den [tex]\(-10\)[/tex]. Esos números son [tex]\(-7\)[/tex] y [tex]\(-3\)[/tex]:
[tex]\[ x^2 - 10x + 21 = (x - 7)(x - 3) \][/tex]
Por lo tanto, la factorización es [tex]\((x - 7)(x - 3)\)[/tex].
3) [tex]\(x^2 - 81\)[/tex]:
Esta es una diferencia de cuadrados:
[tex]\[ x^2 - 81 = (x - 9)(x + 9) \][/tex]
Por lo tanto, la factorización es [tex]\((x - 9)(x + 9)\)[/tex].
4) [tex]\(x^2 + 3x - 40\)[/tex]:
Buscamos dos números que multiplicados den [tex]\(-40\)[/tex] y sumados den [tex]\(3\)[/tex]. Esos números son [tex]\(8\)[/tex] y [tex]\(-5\)[/tex]:
[tex]\[ x^2 + 3x - 40 = (x - 5)(x + 8) \][/tex]
Por lo tanto, la factorización es [tex]\((x - 5)(x + 8)\)[/tex].
5) [tex]\(x^3 - 125\)[/tex]:
Esta es una diferencia de cubos. La fórmula para una diferencia de cubos es [tex]\(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\)[/tex]. Aquí, [tex]\(a = x\)[/tex] y [tex]\(b = 5\)[/tex]:
[tex]\[ x^3 - 125 = (x - 5)(x^2 + 5x + 25) \][/tex]
Por lo tanto, la factorización es [tex]\((x - 5)(x^2 + 5x + 25)\)[/tex].
6) [tex]\((x + y)^2 - 100 m^2\)[/tex]:
Esta es una diferencia de cuadrados. La fórmula es [tex]\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\)[/tex]. Aquí, [tex]\(a = x + y\)[/tex] y [tex]\(b = 10m\)[/tex]:
[tex]\[ (x + y)^2 - 100 m^2 = (x + y - 10m)(x + y + 10m) \][/tex]
Por lo tanto, la factorización es [tex]\((-10m + x + y)(10m + x + y)\)[/tex].
7) [tex]\(4 x^2 - 16 x y + 16 y^2\)[/tex]:
Podemos reconocer esto como un trinomio cuadrado perfecto porque [tex]\(4x^2\)[/tex] es el cuadrado de [tex]\(2x\)[/tex], [tex]\(16y^2\)[/tex] es el cuadrado de [tex]\(4y\)[/tex], y [tex]\(-16xy\)[/tex] es dos veces el producto de [tex]\(2x\)[/tex] y [tex]\(4y\)[/tex]:
[tex]\[ 4 x^2 - 16 x y + 16 y^2 = (2x - 4y)^2 = 4(x - 2y)^2 \][/tex]
Por lo tanto, la factorización es [tex]\(4(x - 2y)^2\)[/tex].
8) [tex]\(8 x^3 - 64 y^3\)[/tex]:
Este es otro caso de una diferencia de cubos. La fórmula para una diferencia de cubos es [tex]\(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\)[/tex]. Aquí, [tex]\(a = 2x\)[/tex] y [tex]\(b = 4y\)[/tex]:
[tex]\[ 8 x^3 - 64 y^3 = 8(2x)^3 - 8(4y)^3 = 8[(x - 2y)((x)^2 + (2)(x)(2y) + (2y)^2)] = 8(x - 2y)(x^2 + 2xy + 4y^2) \][/tex]
Por lo tanto, la factorización es [tex]\(8(x - 2y)(x^2 + 2xy + 4y^2)\)[/tex].
1) [tex]\(6 x^2 + 10 x y\)[/tex]:
Podemos factorizar sacando el factor común:
[tex]\[ 6x^2 + 10xy = 2x(3x + 5y) \][/tex]
Por lo tanto, la factorización es [tex]\(2x(3x + 5y)\)[/tex].
2) [tex]\(x^2 - 10x + 21\)[/tex]:
Buscamos dos números que multiplicados den [tex]\(21\)[/tex] y sumados den [tex]\(-10\)[/tex]. Esos números son [tex]\(-7\)[/tex] y [tex]\(-3\)[/tex]:
[tex]\[ x^2 - 10x + 21 = (x - 7)(x - 3) \][/tex]
Por lo tanto, la factorización es [tex]\((x - 7)(x - 3)\)[/tex].
3) [tex]\(x^2 - 81\)[/tex]:
Esta es una diferencia de cuadrados:
[tex]\[ x^2 - 81 = (x - 9)(x + 9) \][/tex]
Por lo tanto, la factorización es [tex]\((x - 9)(x + 9)\)[/tex].
4) [tex]\(x^2 + 3x - 40\)[/tex]:
Buscamos dos números que multiplicados den [tex]\(-40\)[/tex] y sumados den [tex]\(3\)[/tex]. Esos números son [tex]\(8\)[/tex] y [tex]\(-5\)[/tex]:
[tex]\[ x^2 + 3x - 40 = (x - 5)(x + 8) \][/tex]
Por lo tanto, la factorización es [tex]\((x - 5)(x + 8)\)[/tex].
5) [tex]\(x^3 - 125\)[/tex]:
Esta es una diferencia de cubos. La fórmula para una diferencia de cubos es [tex]\(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\)[/tex]. Aquí, [tex]\(a = x\)[/tex] y [tex]\(b = 5\)[/tex]:
[tex]\[ x^3 - 125 = (x - 5)(x^2 + 5x + 25) \][/tex]
Por lo tanto, la factorización es [tex]\((x - 5)(x^2 + 5x + 25)\)[/tex].
6) [tex]\((x + y)^2 - 100 m^2\)[/tex]:
Esta es una diferencia de cuadrados. La fórmula es [tex]\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\)[/tex]. Aquí, [tex]\(a = x + y\)[/tex] y [tex]\(b = 10m\)[/tex]:
[tex]\[ (x + y)^2 - 100 m^2 = (x + y - 10m)(x + y + 10m) \][/tex]
Por lo tanto, la factorización es [tex]\((-10m + x + y)(10m + x + y)\)[/tex].
7) [tex]\(4 x^2 - 16 x y + 16 y^2\)[/tex]:
Podemos reconocer esto como un trinomio cuadrado perfecto porque [tex]\(4x^2\)[/tex] es el cuadrado de [tex]\(2x\)[/tex], [tex]\(16y^2\)[/tex] es el cuadrado de [tex]\(4y\)[/tex], y [tex]\(-16xy\)[/tex] es dos veces el producto de [tex]\(2x\)[/tex] y [tex]\(4y\)[/tex]:
[tex]\[ 4 x^2 - 16 x y + 16 y^2 = (2x - 4y)^2 = 4(x - 2y)^2 \][/tex]
Por lo tanto, la factorización es [tex]\(4(x - 2y)^2\)[/tex].
8) [tex]\(8 x^3 - 64 y^3\)[/tex]:
Este es otro caso de una diferencia de cubos. La fórmula para una diferencia de cubos es [tex]\(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\)[/tex]. Aquí, [tex]\(a = 2x\)[/tex] y [tex]\(b = 4y\)[/tex]:
[tex]\[ 8 x^3 - 64 y^3 = 8(2x)^3 - 8(4y)^3 = 8[(x - 2y)((x)^2 + (2)(x)(2y) + (2y)^2)] = 8(x - 2y)(x^2 + 2xy + 4y^2) \][/tex]
Por lo tanto, la factorización es [tex]\(8(x - 2y)(x^2 + 2xy + 4y^2)\)[/tex].
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