Para hallar el residuo de dividir [tex]\( N \)[/tex] entre 27, donde
[tex]\[ N = 165^{36} + 165^{72} + 165^{108} + \ldots + 165^{396}, \][/tex]
podemos analizar las potencias de 165 módulo 27.
1. Primero, observamos que [tex]\( 165 \equiv 3 \pmod{27} \)[/tex]. Esto se debe a que [tex]\( 165 = 27 \cdot 6 + 3 \)[/tex], así que el residuo de 165 al dividir entre 27 es 3.
2. Ahora consideramos las potencias de 3 módulo 27. Notemos que:
[tex]\[ 3^3 = 27 \equiv 0 \pmod{27}. \][/tex]
3. Dado que cualquier potencia de 3 mayor o igual a 3 será múltiplo de 27, sabemos que:
[tex]\[ 3^k \equiv 0 \pmod{27} \quad \text{para} \quad k \geq 3. \][/tex]
4. En nuestra expresión de [tex]\( N \)[/tex], todos los términos [tex]\( 165^{36}, 165^{72}, 165^{108}, \ldots, 165^{396} \)[/tex] son potencias de 165 que son múltiplos de 36. Como 36 es mayor que 3, cada una de estas potencias se reduce a 0 cuando se considera módulo 27:
[tex]\[ 165^{36} \equiv 3^{36} \equiv 0 \pmod{27}, \][/tex]
[tex]\[ 165^{72} \equiv 3^{72} \equiv 0 \pmod{27}, \][/tex]
[tex]\[ \ldots, \][/tex]
[tex]\[ 165^{396} \equiv 3^{396} \equiv 0 \pmod{27}. \][/tex]
5. Sumando todos estos términos, tenemos:
[tex]\[ N = 0 + 0 + 0 + \ldots + 0 = 0 \pmod{27}. \][/tex]
Por lo tanto, el residuo de dividir [tex]\( N \)[/tex] entre 27 es [tex]\( \boxed{0} \)[/tex].
