Para resolver la expresión [tex]\(\left(x^{-\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{3}}\)[/tex] con signos radicales y exponentes positivos, sigamos los siguientes pasos detalladamente.
### Paso 1: Simplificación de exponentes
Primero, simplifiquemos la expresión inicial usando propiedades de los exponentes. La expresión que tenemos es:
[tex]\[
\left(x^{-\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{3}}
\][/tex]
Utilizando la propiedad de los exponentes [tex]\((a^m)^n = a^{m \cdot n}\)[/tex], simplifiquemos la expresión:
[tex]\[
\left(x^{-\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{3}} = x^{-\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}} = x^{-\frac{1}{6}}
\][/tex]
### Paso 2: Convertir el exponente negativo en positivo
Ahora, nuestra expresión es [tex]\(x^{-\frac{1}{6}}\)[/tex]. Para expresarla con un exponente positivo, recordemos que [tex]\(a^{-b} = \frac{1}{a^b}\)[/tex]. Entonces, escribimos:
[tex]\[
x^{-\frac{1}{6}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{6}}}
\][/tex]
### Paso 3: Expresar con signo radical
La expresión [tex]\(x^{\frac{1}{6}}\)[/tex] puede escribirse en forma radical como [tex]\(\sqrt[6]{x}\)[/tex]. Por lo tanto, nuestra expresión se convierte en:
[tex]\[
\frac{1}{x^{\frac{1}{6}}} = \frac{1}{\sqrt[6]{x}}
\][/tex]
Así que, [tex]\(\left(x^{-\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{3}}\)[/tex] expresada con signo radical y exponente positivo es:
[tex]\[
\frac{1}{\sqrt[6]{x}}
\][/tex]
### Paso 4: Comparación con las opciones dadas
Al comparar con las opciones proporcionadas:
A) [tex]\(\sqrt[5]{x}\)[/tex]
B) [tex]\(\sqrt[6]{x}\)[/tex]
C) [tex]\(\frac{\sqrt[6]{x^5}}{x}\)[/tex]
D) [tex]\(\frac{1}{\sqrt[5]{x}}\)[/tex]
Vemos que la correcta es:
### Opción correcta:
D) [tex]\(\frac{1}{\sqrt[6]{x}}\)[/tex]
Por lo tanto, la respuesta es la opción D.
