Claro, resolveremos cada ejercicio paso a paso:
### Ejercicio I
Deseamos simplificar la expresión [tex]\(8m - [6n - 10] - [-12m - 5m + 7]\)[/tex] eliminando los signos de agrupación y combinando términos semejantes.
Paso 1: Eliminemos los signos de agrupación:
[tex]\[ 8m - [6n - 10] - [-12m - 5m + 7] \][/tex]
Esto se convierte en:
[tex]\[ 8m - 6n + 10 + 12m + 5m - 7 \][/tex]
Paso 2: Combinemos términos semejantes:
Agrupamos todos los términos con [tex]\(m\)[/tex] juntos:
[tex]\[ 8m + 12m + 5m = 25m \][/tex]
Y ahora agrupamos los términos constantes y los términos con [tex]\(n\)[/tex]:
[tex]\[ -6n + 10 - 7 \][/tex]
Esto se simplifica a:
[tex]\[ -6n + 3 \][/tex]
Así que la expresión simplificada es:
[tex]\[ 25m - 6n + 3 \][/tex]
### Ejercicio II
Queremos encontrar el cociente de la división:
[tex]\[ \frac{24x^5 y^4 + 18x^5 y^7 - 48x^{12} y^6}{3x^2 y^2} \][/tex]
Paso 1: Escribamos la división cada término del numerador por el denominador:
[tex]\[ \frac{24x^5 y^4}{3x^2 y^2} + \frac{18x^5 y^7}{3x^2 y^2} - \frac{48x^{12} y^6}{3x^2 y^2} \][/tex]
Paso 2: Simplifiquemos cada fracción:
1. [tex]\(\frac{24x^5 y^4}{3x^2 y^2} = 8x^{5-2} y^{4-2} = 8x^3 y^2 \)[/tex]
2. [tex]\(\frac{18x^5 y^7}{3x^2 y^2} = 6x^{5-2} y^{7-2} = 6x^3 y^5 \)[/tex]
3. [tex]\(\frac{48x^{12} y^6}{3x^2 y^2} = 16x^{12-2} y^{6-2} = 16x^{10} y^4 \)[/tex]
Entonces el cociente es:
[tex]\[ 8x^3 y^2 + 6x^3 y^5 - 16x^{10} y^4 \ ]
\[ = x^3 y^2 (8 + 6y^3 - 16x^7 y^2) \][/tex]
[tex]\[ = x^3 y^2 (-16x^7 y^2 + 6y^3 + 8) \][/tex]
### Ejercicio III
Queremos encontrar el cociente y el residuo de la división:
[tex]\[ \left(x^6 + 5x^4 + 3x^2 - 2x\right) \][/tex]
entre
[tex]\[ \left(x^2 - x + 3\right) \][/tex]
El resultado obtenido es el cociente y el residuo de la división polinómica:
Cociente:
[tex]\[ x^4 + x^3 + 3x^2 - 6 \][/tex]
Residuo:
[tex]\[ 18 - 8x \][/tex]
Por lo tanto, al dividir [tex]\(x^6 + 5x^4 + 3x^2 - 2x\)[/tex] entre [tex]\(x^2 - x + 3\)[/tex], él cociente es [tex]\(x^4 + x^3 + 3x^2 - 6\)[/tex] y el residuo es [tex]\(18 - 8x\)[/tex].
