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Sagot :
Para resolver este problema, veamos primero la aceleración y cómo afecta la velocidad y el desplazamiento con el tiempo dado.
### Datos iniciales:
- La aceleración del tren está dada por la función [tex]\( a(t) = 10t + 3 \)[/tex] en unidades de [tex]\( \text{m/s}^2 \)[/tex].
- Consideramos las siguientes condiciones iniciales:
- Velocidad inicial [tex]\( v(0) = 0 \)[/tex], es decir, el tren parte del reposo.
- Desplazamiento inicial [tex]\( s(0) = 0 \)[/tex], es decir, el tren comienza en el punto de origen.
### Calcular la velocidad del tren en [tex]\( t = 1.5 \)[/tex] segundos
Para encontrar la velocidad, debemos integrar la función de aceleración, ya que la velocidad es la integral de la aceleración:
[tex]\[ v(t) = \int a(t) \, dt \][/tex]
Dado que [tex]\( a(t) = 10t + 3 \)[/tex]:
[tex]\[ v(t) = \int (10t + 3) \, dt \][/tex]
La integral de [tex]\( 10t \)[/tex] es:
[tex]\[ \int 10t \, dt = 10 \frac{t^2}{2} = 5t^2 \][/tex]
Y la integral de [tex]\( 3 \)[/tex] es:
[tex]\[ \int 3 \, dt = 3t \][/tex]
Entonces, combinando estas integrales obtenemos:
[tex]\[ v(t) = 5t^2 + 3t + C \][/tex]
Dado que la condición inicial es [tex]\( v(0) = 0 \)[/tex]:
[tex]\[ 0 = 5(0)^2 + 3(0) + C \implies C = 0 \][/tex]
Por lo tanto, la velocidad en cualquier tiempo [tex]\( t \)[/tex] está dada por:
[tex]\[ v(t) = 5t^2 + 3t \][/tex]
Sustituyendo [tex]\( t = 1.5 \)[/tex] segundos:
[tex]\[ v(1.5) = 5(1.5)^2 + 3(1.5) \][/tex]
[tex]\[ v(1.5) = 5(2.25) + 4.5 \][/tex]
[tex]\[ v(1.5) = 11.25 + 4.5 \][/tex]
[tex]\[ v(1.5) = 15.75 \ \text{m/s} \][/tex]
### Calcular el desplazamiento del tren en [tex]\( t = 1.5 \)[/tex] segundos
Para el desplazamiento, debemos integrar la función de velocidad, ya que el desplazamiento es la integral de la velocidad:
[tex]\[ s(t) = \int v(t) \, dt \][/tex]
Dado que [tex]\( v(t) = 5t^2 + 3t \)[/tex]:
[tex]\[ s(t) = \int (5t^2 + 3t) \, dt \][/tex]
La integral de [tex]\( 5t^2 \)[/tex] es:
[tex]\[ \int 5t^2 \, dt = 5 \frac{t^3}{3} = \frac{5}{3} t^3 \][/tex]
Y la integral de [tex]\( 3t \)[/tex] es:
[tex]\[ \int 3t \, dt = 3 \frac{t^2}{2} = \frac{3}{2} t^2 \][/tex]
Entonces, combinando estas integrales obtenemos:
[tex]\[ s(t) = \frac{5}{3} t^3 + \frac{3}{2} t^2 + C \][/tex]
Dado que la condición inicial es [tex]\( s(0) = 0 \)[/tex]:
[tex]\[ 0 = \frac{5}{3} (0)^3 + \frac{3}{2} (0)^2 + C \implies C = 0 \][/tex]
Por lo tanto, el desplazamiento en cualquier tiempo [tex]\( t \)[/tex] está dado por:
[tex]\[ s(t) = \frac{5}{3} t^3 + \frac{3}{2} t^2 \][/tex]
Sustituyendo [tex]\( t = 1.5 \)[/tex] segundos:
[tex]\[ s(1.5) = \frac{5}{3} (1.5)^3 + \frac{3}{2} (1.5)^2 \][/tex]
Calculamos [tex]\( (1.5)^3 \)[/tex]:
[tex]\[ (1.5)^3 = 3.375 \][/tex]
Entonces:
[tex]\[ s(1.5) = \frac{5}{3} \times 3.375 + \frac{3}{2} \times 2.25 \][/tex]
[tex]\[ s(1.5) = 5 \times 1.125 + 3 \times 1.125 \][/tex]
[tex]\[ s(1.5) = 5 \times 1.125 + 3 \times 1.125 \][/tex]
[tex]\[ s(1.5) = 5 \times 1.125 + 3 \times 1.125 \][/tex]
[tex]\[ s(1.5) = 5 \times 1.125 + 3 \times 1.125 \][/tex]
[tex]\[ s(1.5) = 5.625 + 3.375 \][/tex]
[tex]\[ s(1.5) = 9 \ \text{m} \][/tex]
### Resumen de resultados
- La velocidad del tren en [tex]\( t = 1.5 \)[/tex] segundos es de [tex]\( 15.75 \ \text{m/s} \)[/tex].
- El desplazamiento del tren en [tex]\( t = 1.5 \)[/tex] segundos es de [tex]\( 9 \ \text{m} \)[/tex].
### Datos iniciales:
- La aceleración del tren está dada por la función [tex]\( a(t) = 10t + 3 \)[/tex] en unidades de [tex]\( \text{m/s}^2 \)[/tex].
- Consideramos las siguientes condiciones iniciales:
- Velocidad inicial [tex]\( v(0) = 0 \)[/tex], es decir, el tren parte del reposo.
- Desplazamiento inicial [tex]\( s(0) = 0 \)[/tex], es decir, el tren comienza en el punto de origen.
### Calcular la velocidad del tren en [tex]\( t = 1.5 \)[/tex] segundos
Para encontrar la velocidad, debemos integrar la función de aceleración, ya que la velocidad es la integral de la aceleración:
[tex]\[ v(t) = \int a(t) \, dt \][/tex]
Dado que [tex]\( a(t) = 10t + 3 \)[/tex]:
[tex]\[ v(t) = \int (10t + 3) \, dt \][/tex]
La integral de [tex]\( 10t \)[/tex] es:
[tex]\[ \int 10t \, dt = 10 \frac{t^2}{2} = 5t^2 \][/tex]
Y la integral de [tex]\( 3 \)[/tex] es:
[tex]\[ \int 3 \, dt = 3t \][/tex]
Entonces, combinando estas integrales obtenemos:
[tex]\[ v(t) = 5t^2 + 3t + C \][/tex]
Dado que la condición inicial es [tex]\( v(0) = 0 \)[/tex]:
[tex]\[ 0 = 5(0)^2 + 3(0) + C \implies C = 0 \][/tex]
Por lo tanto, la velocidad en cualquier tiempo [tex]\( t \)[/tex] está dada por:
[tex]\[ v(t) = 5t^2 + 3t \][/tex]
Sustituyendo [tex]\( t = 1.5 \)[/tex] segundos:
[tex]\[ v(1.5) = 5(1.5)^2 + 3(1.5) \][/tex]
[tex]\[ v(1.5) = 5(2.25) + 4.5 \][/tex]
[tex]\[ v(1.5) = 11.25 + 4.5 \][/tex]
[tex]\[ v(1.5) = 15.75 \ \text{m/s} \][/tex]
### Calcular el desplazamiento del tren en [tex]\( t = 1.5 \)[/tex] segundos
Para el desplazamiento, debemos integrar la función de velocidad, ya que el desplazamiento es la integral de la velocidad:
[tex]\[ s(t) = \int v(t) \, dt \][/tex]
Dado que [tex]\( v(t) = 5t^2 + 3t \)[/tex]:
[tex]\[ s(t) = \int (5t^2 + 3t) \, dt \][/tex]
La integral de [tex]\( 5t^2 \)[/tex] es:
[tex]\[ \int 5t^2 \, dt = 5 \frac{t^3}{3} = \frac{5}{3} t^3 \][/tex]
Y la integral de [tex]\( 3t \)[/tex] es:
[tex]\[ \int 3t \, dt = 3 \frac{t^2}{2} = \frac{3}{2} t^2 \][/tex]
Entonces, combinando estas integrales obtenemos:
[tex]\[ s(t) = \frac{5}{3} t^3 + \frac{3}{2} t^2 + C \][/tex]
Dado que la condición inicial es [tex]\( s(0) = 0 \)[/tex]:
[tex]\[ 0 = \frac{5}{3} (0)^3 + \frac{3}{2} (0)^2 + C \implies C = 0 \][/tex]
Por lo tanto, el desplazamiento en cualquier tiempo [tex]\( t \)[/tex] está dado por:
[tex]\[ s(t) = \frac{5}{3} t^3 + \frac{3}{2} t^2 \][/tex]
Sustituyendo [tex]\( t = 1.5 \)[/tex] segundos:
[tex]\[ s(1.5) = \frac{5}{3} (1.5)^3 + \frac{3}{2} (1.5)^2 \][/tex]
Calculamos [tex]\( (1.5)^3 \)[/tex]:
[tex]\[ (1.5)^3 = 3.375 \][/tex]
Entonces:
[tex]\[ s(1.5) = \frac{5}{3} \times 3.375 + \frac{3}{2} \times 2.25 \][/tex]
[tex]\[ s(1.5) = 5 \times 1.125 + 3 \times 1.125 \][/tex]
[tex]\[ s(1.5) = 5 \times 1.125 + 3 \times 1.125 \][/tex]
[tex]\[ s(1.5) = 5 \times 1.125 + 3 \times 1.125 \][/tex]
[tex]\[ s(1.5) = 5 \times 1.125 + 3 \times 1.125 \][/tex]
[tex]\[ s(1.5) = 5.625 + 3.375 \][/tex]
[tex]\[ s(1.5) = 9 \ \text{m} \][/tex]
### Resumen de resultados
- La velocidad del tren en [tex]\( t = 1.5 \)[/tex] segundos es de [tex]\( 15.75 \ \text{m/s} \)[/tex].
- El desplazamiento del tren en [tex]\( t = 1.5 \)[/tex] segundos es de [tex]\( 9 \ \text{m} \)[/tex].
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