Para determinar los valores de [tex]\( b \)[/tex] que permiten que la ecuación cuadrática tenga soluciones reales, necesitamos analizar el discriminante de la ecuación cuadrática.
La forma general de una ecuación cuadrática es:
[tex]\[ ax^2 + bx + c = 0 \][/tex]
Las soluciones para esta ecuación están dadas por la fórmula cuadrática:
[tex]\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \][/tex]
En el enunciado, las soluciones vienen en la forma:
[tex]\[ x = -b \pm \sqrt{b^2 - 36} \][/tex]
Comparando con la fórmula cuadrática estándar, podemos identificar que el discriminante de esta ecuación cuadrática es [tex]\( b^2 - 36 \)[/tex].
Para que la ecuación cuadrática tenga soluciones reales, el discriminante debe ser no negativo (mayor o igual a cero):
[tex]\[ b^2 - 36 \geq 0 \][/tex]
Resolvamos esta desigualdad:
[tex]\[
b^2 - 36 \geq 0
\][/tex]
[tex]\[
b^2 \geq 36
\][/tex]
Tomando raíz cuadrada en ambos lados de la desigualdad, obtenemos:
[tex]\[
|b| \geq 6
\][/tex]
Esto nos da dos intervalos para [tex]\( b \)[/tex]:
[tex]\[ b \leq -6 \quad \text{o} \quad b \geq 6 \][/tex]
En la notación de intervalos, esto se escribe como:
[tex]\[ b \in (-\infty, -6] \cup [6, \infty) \][/tex]
Por lo tanto, la opción correcta es:
D) Cuando b está en el conjunto [tex]\( (-\infty, -6] \cup [6, \infty) \)[/tex].
